Физтех 2024, отборочный этап, 10 класс, второй тур, задача 8
В треугольнике с острыми углами при вершинах и проведена высота . Точки и — середины сторон и соответственно. Площадь треугольника равна , а радиус вписанной в него окружности равен . Площадь треугольника равна , а радиус вписанной в него окружности равен . Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник .
Ответ
Ответ. .
Решение. Треугольники и — равнобедренные с основаниями и соответственно, а их высоты, опущенные из вершин и , равны. Поскольку медиана делит площадь треугольника пополам, , , поэтому
Кроме того, периметр треугольника равен , а периметр треугольника равен . Заметим, что периметр треугольника равен сумме периметров треугольников и , поэтому радиус вписанной в треугольник окружности есть