Всесиб 2025, отборочный этап, 11 класс, задача 2

Ответ. .

Решение. Пример семи чисел, удовлетворяющих условию задачи: . Проверка выполнимости условия для любой тройки чисел из этого множества: если в тройке есть оба числа и , их и выберем, если тройка содержит ровно одно из чисел или , откидываем это число, оставшиеся по модулю не больше и их сумма — целое число, по модулю не большее , значит принадлежит , тройка не содержит чисел или , тогда сумма любых двух её чисел — целое число, по модулю не большее , значит принадлежит .

Докажем, что больше семи чисел быть не может. Допустим обратное, что на доске записано не меньше восьми чисел, тогда среди них не меньше четырёх ненулевых чисел одного знака. Без ограничения общности можем считать, что эти числа положительные, обозначим четыре максимальных числа, записанных на доске, за . Рассмотрим тройку , в силу максимальности и положительности остальных, только сумма может быть записана на доске и равняться она может только . Теперь рассмотрим тройку , в силу тех же соображений только сумма может быть записана на доске, и равняться она может только . В таком случае , откуда , что противоречит условию о различии всех написанных чисел. Значит, положительных среди записанных чисел может быть не больше трёх. Аналогично, рассматривая самые меньшие записанные числа, доказывается, что среди них не больше трёх отрицательных.