Средняя
Комбинаторика
Источник:
Всесибирская олимпиада школьников, Отборочный этап, 2025, 7 класс

Всесиб 2025, отборочный этап, 7 класс, задача 3

( баллов) На острове располагаются три города, все жители которых являются либо рыцарями, которые всегда говорят правду, либо лжецами, которые всегда врут. Однажды каждый житель острова заявил: «В одном из других городов лжецов живёт меньше, чем в моём городе». Может ли на этом острове проживать ровно человека?

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Решение. Пусть даны города , и .

Рассмотрим город . Так как все его жители произнесли одно и то же утверждение, в живут либо только рыцари, либо только лжецы (либо там вообще никто не живёт). Заметим, что только рыцари проживать там не могут, так как в противном случае они бы утверждали, что в или живёт меньше нуля лжецов. Значит, все жители — лжецы. Аналогично для и , то есть вообще все люди на острове являются лжецами.

Осталось заметить, что не делится на , и поэтому, если всего людей столько, найдутся два города, в первом из которых лжецов больше, чем во втором. Но тогда лжецы первого города скажут правду, что невозможно. Значит, человека на острове проживать не может.

Замечание. Описанная ситуация возможна, если во всех городах живёт поровну человек.

1

Только ответ.

0
2

Доказано, что на острове живут только лжецы.

3
3

Не отмечено, что в каком-то городе может вообще никого не жить.

-0
Максимум: 7

Похожие задачи

Всесиб 2026, отборочный этап, 11 класс, задача 5

(7 баллов) В классе 24 ученика. Каждая группа, состоящая из трех учеников, встречается, выбирает одного из 21 оставшихся учеников, назовём его A, и делает ему подарок. При этом A считает каждого члена группы, которая сделала ему подарок, своим другом. Докажите, что есть ученик, у которого есть по кр
Средняя
Комбинаторика

Всесиб 2025, отборочный этап, 11 класс, задача 2

(7 баллов) На доске записаны несколько (не менее трёх) различных действительных чисел. Известно, что из любых трёх различных записанных чисел всегда можно выбрать два, сумма которых тоже записана на доске. Какое наибольшее количество чисел может быть записано на доске?
Средняя
Алгебра
Комбинаторика

Всесиб 2025, отборочный этап, 11 класс, задача 1

(7 баллов) Можно ли расставить в вершинах куба восемь различных целых чисел так, чтобы число, стоящее в любой вершине, было равно сумме трёх чисел, стоящих в вершинах, соединённых с данной вершиной ребром?
Средняя
Алгебра
Комбинаторика

Всесиб 2022, отборочный этап, 10 класс, задача 3

(7 баллов) Набор из 35 прямоугольников, не являющихся квадратами, длины сторон которых являются целыми числами, таков, что из них можно составить 9 квадратов размера 10 см на 10 см. Докажите, что из прямоугольников этого набора можно составить два прямоугольника, площади которых различаются не более
Средняя
Геометрия
Комбинаторика