Всесиб 2025, отборочный этап, 11 класс, задача 1
( баллов) Можно ли расставить в вершинах куба восемь различных целых чисел так, чтобы число, стоящее в любой вершине, было равно сумме трёх чисел, стоящих в вершинах, соединённых с данной вершиной ребром?
Ответ
Ответ. Да, можно. Пример: в вершинах будут записаны соответственно числа .
Решение. Обозначим вершины куба стандартным способом за , и обозначим записанные в вершинах , , , числа за , , , соответственно. Если расстановка удовлетворяет условиям задачи для вершин , , , , то числа в вершинах , , , равны , , , . Чтобы расстановка удовлетворяла условиям задачи для вершин , , , , должны выполняться равенства
Таким образом, необходимым и достаточным выполнением требования условий задачи является равенство , равносильное . Тогда в вершинах , , , , , , , должны стоять соответственно числа , , , , , , , . Все эти числа должны быть разными, для этого достаточно положить , , . При этом в вершинах , , , , , , , будут записаны соответственно числа .