Всесиб 2023, отборочный этап, 7 класс, задача 5
( баллов) Дана пустая клетчатая доска . За один ход разрешается выбрать любые три клетки, образующие уголок (повёрнутый как угодно), и положить в них по одной шашке. Может ли через несколько ходов оказаться, что во всех клетках лежит одинаковое (ненулевое) количество шашек? (Обоснуйте свой ответ.)
Ответ
Решение. Предположим, это возможно, и через несколько ходов в каждой клетке будет лежать по шашек. Тогда всего на доске их , а так как на каждом ходу их добавляется по три штуки, сделано было ходов. Но заметим, что в каждую из четырёх угловых клеток мы можем класть шашки только отдельными ходами, так как никакой уголок не содержит сразу двух из них. Значит, в каждый из углов было положено раз отдельными ходами, то есть, всего было сделано хотя бы ходов, что противоречит предыдущим рассуждениям. Значит, предположение неверно, и указанная ситуация невозможна.