Всесиб 2026, отборочный этап, 8 класс, задача 5
( баллов) На научную конференцию приехали учёные из стран: всего математиков и физиков. Каждый математик во время конференции подискутировал по крайней мере с другими учёными, а каждый физик — не более чем с тремя. Докажите, что найдётся такая страна, что её представители вообще не дискутировали друг с другом.
Ответ
Решение. Рассмотрим произвольного математика. Максимум из его дискуссий были с другими математиками, поэтому минимум были с физиками. Суммарно тогда дискуссий между математиками и физиками было минимум .
С другой стороны, физики всего провели не более, чем дискуссий, и поэтому максимум из них состоялись между двумя физиками. Но в этом рассуждении каждая дискуссия между физиками посчитана дважды (со стороны каждого из участников), и поэтому на самом деле дискуссий между двумя физиками было максимум .
Рассмотрим теперь все страны, из которых не приехало математиков. Их, очевидно, хотя бы четыре. Максимум в трёх из них могла состояться дискуссия между физиками (так как их всего максимум ). Значит, из одной из стран приехали только физики, которые между собой не общались, и эта страна удовлетворяет условию (или же из этой страны не приехал вообще никто, что тоже нам подходит).