Всесиб 2023, отборочный этап, 9 класс, задача 2
( баллов) Вася поменял местами цифры трехзначного числа так, что ни одна цифра нового трёхзначного числа не совпала с цифрой числа , стоящей в том же разряде. Оказалось, что разность — двузначное число, являющееся полным квадратом. Чему может быть равно число ? Найдите все возможные варианты.
Ответ
Ответ. Всего решений: , , , .
Решение. Обозначим , где — цифры его сотен, десятков и единиц соответственно. Из принципа Дирихле и условия следует, что все они различны, так как нельзя рассадить минимум кроликов (две пары одинаковых цифр в и ) по клеткам (разрядам), чтобы каждому досталось отдельное жильё. По условию либо , либо .
Кроме того, разность и двузначна, следовательно, первая цифра больше первой цифры на (как мы заметили, первые цифры этих чисел не могут быть равны). Рассмотрим оба случая.
1) . Тогда — двузначное число, делящееся на и являющееся точным квадратом, то есть или . В первом случае и , то , откуда и — два решения. Во втором случае и , значит, , откуда и — семь решений.
2) . Тогда — двузначное число, делящееся на и являющееся точным квадратом, то есть или . В первом случае и , тогда , , откуда и — три решения. Во втором случае и , значит, , , откуда и — восемь решений. Общее число решений равно .