Всесиб 2022, отборочный этап, 10 класс, задача 4
( баллов) Собственным делителем натурального числа называется любой его делитель, отличный от и самого числа. Найти все натуральные числа, у которых максимальный собственный делитель на больше квадрата минимального собственного делителя.
Ответ
Ответ. и .
Решение. Обозначим искомое число за , а его минимальный собственный делитель, являющийся простым числом — за . Наибольший собственный делитель равен , что по условию равно , следовательно, имеет вид , причём — его минимальный собственный делитель. Последнее равносильно тому, что число не имеет собственных делителей меньших, чем . Очевидно, это верно для , и , . Любое простое число, большее , при делении на даёт остаток или , следовательно его квадрат при делении на даёт остаток , а после прибавления делится на . Поэтому минимальным собственным делителем числа при будет , а не , и оно не удовлетворяет условию задачи.