Всесиб 2025, отборочный этап, 7–8 классы, задачи 7.4 и 8.3
( баллов) В верном примере на возведение в степень девочка Арина заменила одинаковые цифры одинаковыми буквами, а разные — разными. У неё получилось выражение . Каким мог быть изначальный пример?
Ответ
Решение. Сразу запишем в таблицу, на какие цифры могут заканчиваться квадраты и кубы натуральных чисел, это пригодится далее.
Заметим, что цифра не равна и , так как из двухзначного числа получается четырёхзначное, и , так как даже — уже пятизначное число. Значит, это двойка или тройка. Рассмотрим оба случая.
Случай 1. Пусть . Тогда , так как . Кроме того, , так как это первая цифра числа.
Случай 1.1. Пусть . Тогда , но куб числа заканчивается на единицу, только если само число заканчивается на единицу. Значит, в этом случае решений нет.
Случай 1.2. Пусть . Куб числа заканчивается на , только если оно само кончается на , поэтому . Но , то есть и в этом случае решений нет.
Случай 2. Пусть . Тогда , так как . Кроме того, , так как квадраты не заканчиваются на эти цифры. К тому же, если , то , и две буквы отвечают одной цифре. Осталось немного перебрать.
Случай 2.1. Пусть . Тогда или . Цифра уже занята буквой , поэтому имеем , что не подходит под ребус ().
Случай 2.2. Пусть . Тогда или . Цифра уже занята буквой , поэтому имеем , что не подходит под ребус ().
Случай 2.3. Пусть . Тогда или . В первом случае имеем , что подходит под условие, а во втором , что не подходит, так как повторяется девятка.
Итого, единственным решением является .