Всесиб 2023, отборочный этап, 10 класс, задача 4

Ответ. .

Решение. Обозначим за , , множества тех из рассматриваемых чисел, которые при делении на дают остатки соответственно. Докажем, что каждое из этих множеств содержит одинаковое количество чисел, равное . Заметим, что число при делении на даёт остаток . С каждым из рассматриваемых чисел проделаем следующее: прибавим к каждой цифре единицу, если при этом в некотором разряде получается цифра , заменим её на цифру на , дающую тот же остаток от деления на . Остаток от деления полученного числа на равен остатку от деления на числа , то есть на больше, чем остаток от деления на числа . Следовательно, данное отображение однозначно переводит каждое число множества в некоторое число множества , для всех , причём разные числа из переходят в разные числа из . Значит, количество чисел в не меньше, чем в , количество чисел в не меньше, чем в , и так далее, ..., количество чисел в не меньше, чем в , поэтому все множества , , содержат одинаковое количество чисел, равное .