Всесиб 2023, отборочный этап, 9 класс, задача 1
( баллов) В течение дней каждый из шести друзей посетил бассейн ровно раз, не более одного раза в день. Обозначим за количество дней, в которые бассейн посетили не менее пяти из них. Определить максимальное и минимальное возможные значения числа .
Ответ
Ответ. и соответственно.
Решение. Общее число посещений бассейна за дней шестью друзьями равно , следовательно, количество дней, в которые бассейн посетили не менее пяти из них, не больше . С другой стороны, если количество таких дней равно , то общее число посещений друзьями бассейна, равное , не превосходит , откуда .
Осталось привести примеры, когда эти значения достигаются. Для этого запишем их фамилии по порядку: первый, второй, ..., шестой, и так раз подряд. Затем сначала поделим их на пятёрок, идущих подряд, эти пятёрки посетят бассейн в первые дней. В оставшиеся дней в этом примере в бассейн не пойдёт никто.
Во втором случае в первые дней в бассейн сходят первые шестёрок последовательных друзей, а в оставшиеся дней — оставшихся последовательных четвёрок.