Всесиб 2022, отборочный этап, 10 класс, задача 3
( баллов) Набор из прямоугольников, не являющихся квадратами, длины сторон которых являются целыми числами, таков, что из них можно составить квадратов размера см на см. Докажите, что из прямоугольников этого набора можно составить два прямоугольника, площади которых различаются не более, чем см. В обоих случаях используются все прямоугольники набора.
Ответ
Доказательство. Прямоугольников в наборе всего , поэтому как минимум один из квадратов на будет составлен не более, чем из трёх прямоугольников (и, по условию, не менее, чем из двух). Квадрат имеет вершины, поэтому минимум две из них будут принадлежать одному из этих прямоугольников. Значит длина одной из его сторон равна см, а другая целочисленная и равна , где , так как этот прямоугольник меньше квадрата. Сложим из оставшихся прямоугольников два равных прямоугольника размера см на см (это по квадрата на , всего штук), прямоугольник размера на приложим к одному из них, а остаток от квадрата, имеющий размер на — к другому. Разность их площадей равна
что по модулю не больше , так как .