Всесиб 2024, отборочный этап, 8 класс, задача 4
( баллов) В треугольнике угол в три раза больше угла . На стороне отмечены точки и ( лежит между и ) таким образом, что . Из точки на прямую опущен перпендикуляр, пересекающий отрезок в точке . Докажите, что прямая является биссектрисой .
Ответ
Решение. Обозначим угол за . Тогда и .
Заметим, что как внешний к треугольнику . Тогда из равенства следует равнобедренность треугольника , то есть высота является ещё и биссектрисой. Кроме того, в треугольнике прямая тоже является биссектрисой. Но все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. В данном случае это должна быть точка , поэтому третьей биссектрисой является прямая , что и требовалось доказать.