Всесиб 2024, отборочный этап, 9 класс, задача 3

( баллов) В треугольнике точка — середина стороны , а — точка на стороне такая, что . Известно, что углы и равны. Найдите .

Ответ

Ответ. .

Решение. Обозначим за точку пересечения отрезков и . Из равенства углов и следует равенство длин отрезков и . Через точку проведём прямую параллельно , пересекающую сторону в точке . По теореме Фалеса в треугольнике из равенства следует равенство . Далее, уже в треугольнике по теореме Фалеса из равенства следует равенство . Значит, , и вершина лежит на окружности с центром и диаметром . Следовательно, равен , опирающемуся в этой окружности на диаметр , и является прямым.

Построение отрезка .

Доказательство равенства .

Доказательство того, что вершина лежит на окружности с центром и диаметром и равен .

Максимум: 7

Похожие задачи

Всесиб 2022, отборочный этап, 10 класс, задача 3

(7 баллов) Набор из 35 прямоугольников, не являющихся квадратами, длины сторон которых являются целыми числами, таков, что из них можно составить 9 квадратов размера 10 см на 10 см. Докажите, что из прямоугольников этого набора можно составить два прямоугольника, площади которых различаются не более

Средняя

Геометрия

Комбинаторика

Всесиб 2025, отборочный этап, 8 класс, задача 4

(7 баллов) Внутри треугольника ABC выбрана точка D таким образом, что angle ADB=115^circ. Серединные перпендикуляры к отрезкам AD и BD пересекают стороны AC и BC в точках E и F соответственно. Оказалось, что точки E, D и F лежат на одной прямой. Найдите величину угла ACB.

Средняя

Геометрия

Планиметрия

Всесиб 2023, отборочный этап, 9 класс, задача 3

(7 баллов) В треугольнике ABC на сторонах AB и BC выбраны точки K и M соответственно. Докажите, что, если угол AMK больше угла BMK, то угол CKM меньше угла BKM.

Средняя

Геометрия

Планиметрия

Всесиб 2022, отборочный этап, 11 класс, задача 4

(7 баллов) Обозначим за P основание высоты остроугольного треугольника ABC, опущенной из вершины B, а за M — точку, зеркально симметричную P относительно средней линии треугольника, параллельной его стороне BC. Доказать, что прямая BM проходит через центр описанной окружности треугольника ABC.

Средняя

Геометрия

Планиметрия