Всесиб 2025, отборочный этап, 8 класс, задача 4

( баллов) Внутри треугольника выбрана точка таким образом, что . Серединные перпендикуляры к отрезкам и пересекают стороны и в точках и соответственно. Оказалось, что точки , и лежат на одной прямой. Найдите величину угла .

Ответ

Решение. Так как точки и лежат на серединных перпендикулярах, они равноудалены от концов соответствующих отрезков, то есть и . Следовательно, из равнобедренных треугольников и имеем равенства углов и . Тогда

Только ответ.

Рассмотрение частных случаев расположения точек.

Замечено только, что и .

Максимум: 7

Похожие задачи

Всесиб 2025, отборочный этап, 10 класс, задача 2

(7 баллов) Во вписанном в окружность пятиугольнике ABCDE величины углов ABE, BEC и ECD равны 40, 50 и 50 градусов соответственно, а длины стороны AB и диагонали CE равны 5 и 7 см соответственно. Найти длину диаметра окружности.

Средняя

Геометрия

Планиметрия

Всесиб 2024, отборочный этап, 8 класс, задача 4

(7 баллов) В треугольнике ABC угол B в три раза больше угла C. На стороне AC отмечены точки M и N (M лежит между A и N) таким образом, что angle ABM=angle MBN=angle NBC. Из точки A на прямую BN опущен перпендикуляр, пересекающий отрезок BM в точке K. Докажите, что прямая NK является биссектрисой ang

Средняя

Геометрия

Планиметрия

Всесиб 2024, отборочный этап, 8 класс, задача 3

(7 баллов) Дан клетчатый квадрат 4 × 4. Вася разрезал его по линиям сетки на четыре части одинаковой площади. Могли ли у него получиться 4 различных многоугольника?

Средняя

Геометрия

Комбинаторика

Всесиб 2023, отборочный этап, 10 класс, задача 3

(7 баллов) Дана окружность Ω с центром O и окружность Ω', которая проходит через O и пересекает Ω в точках A и B. На окружности Ω' выберем точку C, отличную от O, лежащую внутри Ω. Прямая AC ещё раз пересекает окружность Ω в точке D, а прямая BC ещё раз пересекает окружность Ω в точке E. Докажите, ч

Средняя

Геометрия

Планиметрия