Всесиб 2024, отборочный этап, 8 класс, задача 3
( баллов) Дан клетчатый квадрат . Вася разрезал его по линиям сетки на четыре части одинаковой площади. Могли ли у него получиться различных многоугольника?
Ответ
Решение. Ясно, что площадь каждой фигуры равна клеткам. Такие фигуры называются тетрамино, и несложно проверить, что их существует лишь видов:
Из шахматной раскраски доски видно, что последняя фигура единственная содержит разное число чёрных и белых клеток, поэтому использована быть не может (так как и на доске , и во всех остальных тетрамино поровну обоих цветов). Значит, искомое разрезание содержит в точности первые четыре фигуры.
Сразу заметим, что прямоугольник может прилегать только к стороне квадрата, а в оставшейся части может занимать только следующие два положения (остальные случаи симметричны):
В обоих из них остаток нельзя разрезать на две новые тетраминошки, поэтому разрезание из условия задачи невозможно.