Всесиб 2026, отборочный этап, 7 класс, задача 5

( баллов) На проводе в ряд сидят воробьёв, каждый из которых смотрит либо вправо, либо влево. Воробьи, которые смотрят вправо, видят всех других птиц, сидящих правее. Аналогично, воробьи, которые смотрят влево, видят всех других птиц, сидящих левее. Докажите, что найдётся воробей, которого суммарно видят столько же птиц, сколько видит он сам.

Ответ

Решение. Назовём воробьёв, которые смотрят вправо, правыми, а остальных левыми. В силу того, что правых и левых суммарно нечётное количество, в какой-то из этих двух групп тоже. Без ограничения общности, пускай правых воробьёв нечётное число для некоторого целого .

Рассмотрим среднего воробья из всех правых (то есть и слева, и справа от него по правых воробьёв). Заметим, что он видит правых воробьёв, и его видят правых воробьёв, то есть поровну правых птиц. С другой стороны, если этот воробей видит какую-то левую птицу, то и она видит его, и наоборот. Поэтому если справа от выбранного воробья некоторое количество левых птиц, то он суммарно видит воробьёв, а его суммарно видят других птиц, то есть он является искомым.

Верное решение.

Максимум: 7

Похожие задачи

Всесиб 2023, отборочный этап, 9 класс, задача 1

(7 баллов) В течение 100 дней каждый из шести друзей посетил бассейн ровно 75 раз, не более одного раза в день. Обозначим за n количество дней, в которые бассейн посетили не менее пяти из них. Определить максимальное и минимальное возможные значения числа n.

Средняя

Неравенства

Комбинаторика

Всесиб 2024, отборочный этап, 10 класс, задача 4

(7 баллов) Круг разделён на nge3 секторов, в каждом из которых записано 0 или 1. За один ход можно выбрать любой сектор C, в котором записан 0, изменить цифру в нём на 1 и одновременно изменить символы x и y в двух секторах, соседних с C, на их дополнения 1-x и 1-y соответственно. Процесс повторяетс

Средняя

Комбинаторика

Всесиб 2023, отборочный этап, 8 класс, задача 5

(7 баллов) Вася выписал на доску набор различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 2023. Оказалось, что для любых двух написанных a и b число a+b не делится нацело на число a-b. Какое наибольшее количество чисел мог выписать Вася?

Средняя

Теория чисел

Комбинаторика

Всесиб 2026, отборочный этап, 11 класс, задача 5

(7 баллов) В классе 24 ученика. Каждая группа, состоящая из трех учеников, встречается, выбирает одного из 21 оставшихся учеников, назовём его A, и делает ему подарок. При этом A считает каждого члена группы, которая сделала ему подарок, своим другом. Докажите, что есть ученик, у которого есть по кр

Средняя

Комбинаторика