Всесиб 2023, отборочный этап, 9 класс, задача 3

( баллов) В треугольнике на сторонах и выбраны точки и соответственно. Докажите, что, если угол больше угла , то угол меньше угла .

Ответ

Доказательство. Обозначим точку пересечения отрезков и за . Заметим, что в треугольнике сумма величин углов и равна минус величину , что равно минус величину , и равно сумме величин углов и в треугольнике . Величины и соответственно меньше величин углов и исходного треугольника . Следовательно, сумма величин углов и меньше минус величину . Последняя разность равна сумме углов и в треугольнике . Значит, сумма величин углов и меньше суммы величин углов и . Если бы и величина была не меньше величины , то по условию сумма и была бы больше суммы и — противоречие.

Верное решение.

Максимум: 7

Похожие задачи

Всесиб 2022, отборочный этап, 11 класс, задача 4

(7 баллов) Обозначим за P основание высоты остроугольного треугольника ABC, опущенной из вершины B, а за M — точку, зеркально симметричную P относительно средней линии треугольника, параллельной его стороне BC. Доказать, что прямая BM проходит через центр описанной окружности треугольника ABC.

Средняя

Геометрия

Планиметрия

Всесиб 2025, отборочный этап, 10 класс, задача 2

(7 баллов) Во вписанном в окружность пятиугольнике ABCDE величины углов ABE, BEC и ECD равны 40, 50 и 50 градусов соответственно, а длины стороны AB и диагонали CE равны 5 и 7 см соответственно. Найти длину диаметра окружности.

Средняя

Геометрия

Планиметрия

Всесиб 2026, отборочный этап, 9 класс, задача 1

(7 баллов) Можно ли обозначить центры клеток квадрата 3 × 3 буквами A₁,A₂,ldots,A₉ в некотором порядке так, чтобы среди отрезков A₁A₂,A₂A₃,ldots,A₈A₉,A₉A₁ никакие два не были равн

Средняя

Геометрия

Планиметрия

Комбинаторика

Всесиб 2022, отборочный этап, 9 класс, задача 4

(7 баллов) В окружности провели несколько различных хорд таким образом, что каждая из них проходит через середину хотя бы одной другой хорды. Докажите, что все проведённые хорды являются диаметрами окружности.

Средняя

Геометрия

Планиметрия