Всесиб 2022, отборочный этап, 9 класс, задача 4
( баллов) В окружности провели несколько различных хорд таким образом, что каждая из них проходит через середину хотя бы одной другой хорды. Докажите, что все проведённые хорды являются диаметрами окружности.
Ответ
Доказательство. Рассмотрим отрезки, соединяющие центр окружности с серединой каждой хорды, по известному свойству они являются серединными перпендикулярами к хордам, а их длины равны расстояниям от до хорд. Последнее означает, что расстояние от до любой точки хорды, отличной от её середины, будет больше длины такого отрезка.
Допустим, не все проведённые хорды являются диаметрами окружности. Рассмотрим — любую из хорд, для которой расстояние от центра максимально среди всех таких расстояний, оно не равно по предположению. По условию, пересекает некоторую другую хорду в её середине . Если отлична от середины хорды , то длина , равная расстоянию от до , больше расстояния от до , что противоречит выбору . Если середины хорд и совпадают, то совпадают и сами хорды, так как будет их общим серединным перпендикуляром — снова противоречит тому, что все хорды по условию различны. Именно здесь использовано предположение о том, что не все хорды, а конкретно и , являются диаметрами окружности, для них — отрезок, а не точка.