Всесиб 2025, отборочный этап, 9 класс, задача 3
( баллов) На стороне остроугольного треугольника , у которого сторона длиннее стороны . взята точка такая, что , — середина отрезка , — середина стороны . Доказать, что прямая параллельна биссектрисе угла .
Ответ
Доказательство 1. Отметим на стороне точку такую, что , и обозначим за середину отрезка . Треугольник равнобедренный, поэтому прямая — биссектриса угла . В треугольнике отрезок является средней линией, поэтому он параллелен стороне и равен половине отрезка , следовательно, равен и параллелен отрезку . Значит, четырёхугольник является параллелограммом, поэтому его сторона равна и параллельна стороне , лежащей на биссектрисе угла , что и требовалось доказать.
Доказательство 2. Обозначим за и середины сторон и соответственно, четырёхугольник — параллелограмм. Длина стороны равна , длина отрезка равна
следовательно треугольник является равнобедренным, поэтому его углы и равны. Но и углы и равны, как накрест лежащие, значит равны углы и и прямая является биссектрисой угла . Стороны углов и параллельны, следовательно биссектриса угла параллельна биссектрисе угла , что и требовалось доказать.