Всесиб 2026, отборочный этап, 9 класс, задача 2
( баллов) В правильном шестиугольнике на диагоналях и соответственно отмечены точки и такие, что длины отрезков и равны длине стороны шестиугольника. Доказать, что точки , и лежат на одной прямой. Правильный шестиугольник — это шестиугольник, в котором равны все стороны и равны все углы.
Ответ
Доказательство. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен , поэтому величины углов и при основании равны по . Следовательно, в равнобедренном треугольнике величина угла при вершине , а величины углов и при основании равны по . Тогда величина угла .
Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник с равными сторонами . В нём величина угла при вершине равна разности величин углов и , поэтому угол — прямой. Следовательно, углы и при его основании равны по . Таким образом, углы и равны по , значит точки , и лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.