Всесиб 2024, отборочный этап, 11 класс, задача 3
( баллов) Окружность с центром на стороне параллелограмма проходит через его вершины , и . Прямые , и снова пересекают окружность в точках , , соответственно. Докажите, что длины отрезков , и равны между собой.
Ответ
Доказательство. Параллельные прямые и высекают на окружности равные дуги, поэтому , следовательно, треугольник равнобедренный. Угол опирается на диаметр окружности с центром , поэтому является прямым. Значит, отрезок перпендикулярен и параллельному ему , следовательно, является высотой из вершины в равнобедренном треугольнике , то есть серединным перпендикуляром к основанию . Тогда точка равноудалена от и , поэтому .
Равенство второй пары отрезков и доказывается аналогично, здесь опирается на диаметр окружности с центром , поэтому является прямым. Значит, отрезок перпендикулярен и параллельному ему , следовательно, является высотой из вершины в равнобедренном треугольнике , то есть серединным перпендикуляром к отрезку , поэтому равноудалена от и , поэтому , что и завершает доказательство.