Всесиб 2023, отборочный этап, 10 класс, задача 3
( баллов) Дана окружность с центром и окружность , которая проходит через и пересекает в точках и . На окружности выберем точку , отличную от , лежащую внутри . Прямая ещё раз пересекает окружность в точке , а прямая ещё раз пересекает окружность в точке . Докажите, что треугольники и равны.
Ответ
Доказательство. Углы и равны как вертикальные, поэтому для равенства треугольников и достаточно равенства отрезков и . Докажем первое из них. Обозначим величину угла за . Тогда и величина , вписанного в окружность и опирающегося там на хорду , тоже равна , а величина смежного с ним угла равна . С другой стороны, вписанный в окружность угол равен половине её центрального угла , то есть . В таком случае в треугольнике углы и равны и соответственно, следовательно, третий угол тоже равен , поэтому треугольник является равнобедренным и , что и требовалось доказать. Равенство доказывается аналогично.