Всесиб 2025, отборочный этап, 10 класс, задача 2
( баллов) Во вписанном в окружность пятиугольнике величины углов , и равны , и градусов соответственно, а длины стороны и диагонали равны и см соответственно. Найти длину диаметра окружности.
Ответ
Ответ. см.
Решение. Равенство накрест лежащих углов и влечёт параллельность хорд и , откуда следует равенство дуг и хорд и . Кроме того, в равнобедренной трапеции равны диагонали и .
Вписанные углы и , опирающиеся на общую дугу равны, поэтому величина угла равна градусов, а угла — равна сумме и , то есть градусов, в частности, он опирается на диаметр окружности. Следовательно, сумма квадратов и равна сумма квадратов и катетов прямоугольного треугольника , равна квадрату его гипотенузы , то есть квадрату длины диаметра окружности. Значит, диаметр окружности равен .