Всесиб 2026, отборочный этап, 10 класс, задача 4
( баллов) На прямой, проходящей через вершину остроугольного треугольника параллельно стороне , отмечена точка такая, что , и точки и лежат по разные стороны от прямой . Доказать, что сумма длин отрезков и равна длине стороны .
Ответ
Доказательство. Проведём через точку биссектрису угла . Она образует угол, равный с прямой , следовательно образует такой же накрест лежащий угол с параллельной прямой , поэтому параллельна стороне . Кроме того, она пересекает сторону , следовательно, пересекает прямую по внутренней точке стороны . Четырёхугольник является параллелограммом, поэтому его противоположные стороны и равны. С другой стороны, в треугольнике оба угла и равны углу равны , поэтому он является равнобедренным с равными сторонами и . Таким образом, , что и требовалось доказать.