Всесиб 2022, отборочный этап, 11 класс, задача 4
( баллов) Обозначим за основание высоты остроугольного треугольника , опущенной из вершины , а за — точку, зеркально симметричную относительно средней линии треугольника, параллельной его стороне . Доказать, что прямая проходит через центр описанной окружности треугольника .
Ответ
Доказательство. Обозначим за и середины сторон и соответственно. По построению, отрезки и симметричны, поэтому их длины равны. Точка является серединой гипотенузы прямоугольного треугольника , поэтому и лежит на описанной окружности треугольника . Следовательно, равны вписанные углы и , опирающиеся на общую дугу .
Подсчитаем величину угла : она равна величине минус , а величина равна сумме и . Из равнобедренного треугольника величина равна разности и , поэтому
С другой стороны, величина центрального угла равна удвоенной величине вписанного угла , опирающегося на дугу , то есть . Тогда величина равна . Равенство углов и обозначает, что точка лежит на прямой , что и требовалось доказать.
