Всесиб 2025, отборочный этап, 9 класс, задача 2
( баллов) В некоторой группе из не менее, чем трёх человек, произошёл обмен письмами такой, что для каждых двух человек и либо послал письмо , либо послал письмо , но не одновременно и то и другое. Кроме того, для любых трёх человек , и выполняется условие: если послал письмо , а послал письмо , то и послал письмо . Сколько человек может быть в этой группе? Найти все ответы и доказать, что других нет.
Ответ
Ответ. .
Решение. Если количество членов группы не меньше четырёх, то любой её член послал или получил не меньше трёх писем. Значит, он или получил хотя бы два письма от некоторых и , или послал хотя бы два письма некоторым и . Тогда тройка членов , и не удовлетворяет условию задачи.
Действительно, в первом случае либо послал , послал , но и послал , а должен был послать , либо послал , послал , но и послал , а должен был послать — противоречие. Аналогично, во втором случае, либо послал , послал , но и послал , а должен был послать , либо послал , послал , но и послал , а должен был послать — противоречие.
Значит, количество членов группы равно три, из которых послал письмо , послал письмо и послал письмо .