Всесиб 2026, отборочный этап, 8 класс, задача 4
( баллов) Пусть и — некоторые натуральные числа. На доске написано -значное число, в котором сначала идёт троек, а затем шестёрок, то есть оно имеет вид
При каких и данное число является квадратом целого числа?
Ответ
Решение. Обозначим это число через , и пусть для некоторого натурального . Заметим, что чётно, и поэтому должно делиться на , откуда на должно делиться число, образованное двумя последними цифрами . Однако, не делится на , и поэтому может заканчивать только на одну шестёрку.
Отметим сразу, что , а квадратом не является, так что осталось рассмотреть числа, начинающиеся хотя бы с трёх троек. Вспомним, что чётно, откуда , то есть
в чём легко убедиться, поделив на в столбик. Но тогда заканчивается на , что невозможно в силу причин, уже описанных выше: должно быть чётным, но квадрат чётного числа делится на , и не может заканчиваться на двузначное число, не делящееся на .
Итого, возможен только случай .