Всесиб 2026, отборочный этап, 11 класс, задача 3
( баллов) Найти все пары простых чисел и , для которых число является точным квадратом некоторого натурального числа.
Ответ
Ответ. , и , .
Решение. Перепишем выражение в условии: . Если оба простых числа и нечётны, то имеет остаток при делении на , однако квадраты натуральных чисел при делении на могут давать только остатки и , противоречие.
Другой вариант рассуждения: делится на , значит число — чётно, тогда число делится на , что невозможно, снова противоречие. Следовательно, одно или оба простых числа и должны быть чётны, то есть равняться . Если , то — не является точным квадратом. Если , то , тогда . Ввиду простоты числа отсюда следует, что , , тогда , это даёт пару , , являющуюся решением задачи. Аналогично рассматривается случай, когда , это даёт вторую пару решений , .
Ответ. , и , .