Всесиб 2022, отборочный этап, 11 класс, задача 5

Ответ. .

Решение. То, что произведение не является квадратом натурального числа при следует из неравенств

и

Докажем, что при всех остальных натуральных произведение всегда является квадратом натурального числа при подходящем значении .

Пусть сначала не является степенью двойки, то есть записывается в виде при некоторых , . В этом случае при любом натуральном имеем

Положим — натуральное число, тогда — квадрат натурального числа.

Рассмотрим оставшийся случай, когда является степенью двойки, отличной от , и , то есть записывается в виде при некотором . В этом случае при любом натуральном имеем

Положим — натуральное число, тогда — квадрат натурального числа.