Всесиб 2026, отборочный этап, 10 класс, задача 3
( баллов) На доске написаны десять различных натуральных чисел, сумма которых равна . Докажите, что произведение этих десяти чисел всегда делится на .
Ответ
Доказательство. Число разлагается в произведение трёх попарно взаимно простых чисел и , поэтому делимость на эквивалентна делимости на каждое из чисел . Предположим противное, что произведение некоторых различных натуральных чисел, сумма которых равна , не делится на , тогда оно не должно делиться на одно из чисел .
) Произведение не делится на , тогда среди этих чисел нет чисел, делящихся на . В таком случае первое из них не меньше , второе — не меньше , третье — не меньше , четвёртое — не меньше , пятое — не меньше , и так далее, девятое — не меньше , десятое — не меньше , а их сумма не меньше, чем — противоречие условию.
) Произведение не делится на , тогда среди этих чисел нет чисел, делящихся на . В таком случае первое из них не меньше , второе — не меньше , третье — не меньше , четвёртое — не меньше , пятое — не меньше , и так далее, девятое — не меньше , десятое — не меньше , а их сумма не меньше, чем — противоречие условию.
) Произведение не делится на , тогда среди этих чисел точно нет чисел, делящихся на . Заметим, что это условие в данном пункте является необходимым, но не достаточным. В таком случае первое из них не меньше , второе — не меньше , третье — не меньше , четвёртое — не меньше , пятое — не меньше , и так далее, девятое — не меньше , десятое — не меньше , а их сумма не меньше, чем — противоречие условию. В этом случае мы даже не требуем, чтобы среди чисел не было двух чётных, что тоже давало бы делимость произведения на .