Всесиб 2024, отборочный этап, 9 класс, задача 2
( баллов) Найти все четвёрки различных простых чисел таких, что , , .
Ответ
Ответ. , , , .
Решение. В первом уравнении число простое, не меньшее , значит нечётное. Если бы оба простых числа в левой части были отличны от , то их сумма, равная , была бы чётна, что не так. Следовательно, одно из чисел равно , а остальные числа нечётны. Если , то левая часть третьего уравнения чётна, а правая — нечётна — противоречие, значит, и . Подставляем последнее равенство в третье уравнение, получаем , откуда и . Теперь подставляем эти равенства во второе уравнение, получаем
откуда и
Второе решение не целое, поэтому окончательно имеем , , .