Всесиб 2024, отборочный этап, 10 класс, задача 2
( баллов) Найти все пары целых чисел , удовлетворяющих уравнению .
Ответ
Ответ. , , , , , — всего решений.
Решение. 1) Если одно из чисел равно , то квадрат второго равен , поэтому имеем пары решений , .
2) Если оба числа больше , то , поэтому левая часть уравнения будет отрицательна и не может равняться . Следовательно, если оба положительны, то одно из них равно . Скажем, если , то , откуда . Аналогично при находим . В данном случае получаем две пары решений , . Случай, когда оба отрицательны, сводится к только что рассмотренному умножением обоих чисел на минус единицу, получаем ещё два решения , .
3) Если числа имеют разные знаки, ввиду симметрии можно считать, что положительно и по модулю не меньше , тогда . При этом левая часть уравнения
и не может равняться .
Другое изложение того же решения. Перепишем уравнение в виде , тогда , откуда . Если одно из чисел равно , то квадрат второго равен , поэтому имеем пары решений , . Если обе переменные отличны от , делим неравенство на правую часть:
Если оба знаменателя в правой части больше , то правая часть не больше и неравенство невозможно. Следовательно, либо , либо . Скажем, если , то , тогда , откуда , что приводит к двум решениям . Аналогично, случай приводит к двум решениям . В этом решении не нужно отдельно рассматривать знаки каждой переменной.