Всесиб 2024, отборочный этап, 10 класс, задача 1
( баллов) Найти геометрическое место всех точек координатной плоскости, для которых при любом значении параметра из интервала выполнено неравенство .
Ответ
Ответ. Множество всех точек координатной плоскости, лежащих на графике функции
и выше него.
Решение. Выражение в левой части неравенства из условия является квадратичной функцией от переменной , ветви графика которой направлены вверх. Минимум этой функции достигается при и равен .
1) Пусть сначала , то есть . Тогда функция возрастает на интервале , и требование в условии равносильно неравенству , то есть .
2) Пусть теперь , то есть . Тогда функция убывает на интервале , и требование в условии равносильно неравенству , то есть .
3) Пусть, наконец, , то есть . Тогда требование в условии равносильно неравенству , то есть .
Объединяя все три случая, получим ответ задачи — множество всех точек координатной плоскости, лежащих на графике функции
и выше него.