Всесиб 2023, отборочный этап, 10 класс, задача 1
( баллов) Найти все решения в неотрицательных действительных числах системы уравнений
Ответ
Ответ. Все тройки равных чисел для произвольного неотрицательного .
Решение.
1) Тройки чисел при любом , очевидно, являются решениями системы из условия.
2) Если ровно одно из переменных равно , например , , , то и , откуда и — противоречие. Если ровно два из переменных равны , например , , , то и , откуда и — снова противоречие.
3) Если все числа не равны нулю и среди них есть два равных, например , то из первого равенства , откуда и — все три числа равны.
4) Далее считаем все числа положительными и различными. В таком случае произведение суммы двух меньших из них на одно из этих меньших будет меньше произведения двух больших из них на одно из больших. Следовательно, рассматриваемые тройки не являются решениями системы из условия.