Всесиб 2026, отборочный этап, 10 класс, задача 2

Ответ. .

Решение 1. Сразу заметим, что возможно при , при , и при , поэтому все указанные в ответе значения достигаются.

Покажем, что других ответов нет, пусть далее . Тогда , сокращаем на , получаем . Отсюда , следовательно, числа являются корнями квадратного уравнения , равными и . Тогда , откуда и , , что и требовалось доказать.

Решение 2. Рассмотрим равенство , из него получим равенство . Из последнего следует, что, либо , либо , либо . В первом случае , откуда или , во втором случае , откуда или , в третьем то же самое. В итоге получаются четыре возможных пары для : , , , . Для них получим соответственно .