Всесиб 2022, отборочный этап, 11 класс, задача 2
( баллов) Последовательность действительных чисел , такова, что
и . Найдите явную формулу, выражающую число через .
Ответ
Ответ.
Решение. Посчитаем первые члены последовательности , . Для имеем по условию
то есть и , откуда . Для имеем тогда
то есть и , откуда . Отсюда легко угадывается общая формула
Докажем её по индукции. База уже доказана для . Пусть формула верна для , тогда для имеем по условию
то есть
и . Дискриминант этого квадратного уравнения равен
откуда
С учётом ограничения получаем
что и требовалось доказать.