Всесиб 2023, отборочный этап, 10 класс, задача 2
( баллов) Пусть — множество из десяти различных положительных чисел (не обязательно натуральных). Определить максимально возможное количество арифметических прогрессий, состоящих из трёх различных чисел множества .
Ответ
Ответ. .
Решение. Обозначим элементы множества за . Три числа образуют трёхчленную арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда .
Посмотрим, какое максимальное количество раз каждый из элементов может быть средним членом такой прогрессии. Несложно видеть, что к элементу , , можно подобрать первый элемент не более, чем различными способами — это может быть только . Следовательно, искомых прогрессий со средним членом , , может быть не более . Аналогично, к элементу , , можно подобрать третий элемент не более, чем различными способами — это может быть только . Следовательно, искомых прогрессий со средним членом , , может быть не более . Любая искомая трёхчленная прогрессия должна быть одного из этих двух типов, следовательно, общее число таких способов не может превосходить .
В качестве примера множества из элементов, когда значение достигается, можно взять множество всех натуральных чисел от до включительно.