Всесиб 2024, отборочный этап, 9 класс, задача 4
( баллов) Найти все натуральные числа , для которых число делится на .
Ответ
Ответ. Все , при делении на дающие остатки и .
Решение. Заметим, что , то есть делится на . Отсюда следует, что при добавлении к любому числу числа , умноженного на произвольную степень десятки, остаток от деления этого числа на не изменится. В частности, если к любым трём подряд идущим цифрам числа добавить, либо из них вычесть по , то его свойство делимости или неделимости на не изменится.
1) Пусть сначала . Заполним все разряды числа , в которых стоят нули, единицами, проделав операцию прибавления единиц в трёх соседних разрядах раз, получив число, записанное подряд единицами, которое делится на , а значит, и на . Следовательно, исходное число также делится на .
2) Пусть . Добавим к числу единицы так, чтобы получилось
затем уберём единицы в первых и последних разрядах, получив число , делящееся на . Следовательно, исходное число также делится на .
3) Пусть . Допишем к числу единицы так, чтобы получилось
затем уберём единицы в первых и последних разрядах, получив число , не делящееся на . Следовательно, исходное число также не делится на .