Всесиб 2025, отборочный этап, 9 класс, задача 4
( баллов) Найти все пары простых чисел и , для которых обе суммы и являются квадратами натуральных чисел.
Ответ
Ответ. , и , .
Решение. Запишем и , , тогда . Ввиду простоты числа левая часть равенства может быть разложена в произведение двух натуральных чисел ровно двумя способами: , поэтому получим два варианта системы уравнений.
. Тогда , . Эта дробь является целым числом только при для некоторого целого , и тогда . Из первого равенства условия . Ввиду простоты один из сомножителей правой части должен равняться или . Ясно, что не может равняться или , поэтому либо и , , либо и , , второе не подходит.
. Тогда , . Из первого равенства условия . Ввиду простоты один из сомножителей правой части должен равняться или . Если , то , — не подходит, если , то , , — тоже не подходит. Если , то , , — подходит, если , то , — не подходит. Проверка показывает, что обе пары , и , являются решениями.