Всесиб 2022, отборочный этап, 7 класс, задача 4
( баллов) Антону из деревни передали несколько кабачков, и он решил раздать их друзьям. Арине он отдал половину от полученного количества кабачков, а Вере — треть (тоже от полученного количества). Оказалось, что после этого у Арины количество кабачков стало выражаться квадратом некоторого натурального числа, а у Веры — кубом (до этого у них кабачков не было вообще). Найдите наименьшее возможное количество кабачков, которое мог получить Антон из деревни. (Найдите ответ и докажите, что он минимален).
Ответ
Решение. Пусть Антон получил кабачков. Так как и половина, и треть — это целые числа, то делится на , то есть для некоторого натурального . Тогда известно, что — это квадрат натурального числа, а — куб. Пусть . Другими словами, пусть и — это максимальные степени двойки и тройки, на которые делится . Тогда , и, так как это квадрат, и — это чётные числа. С другой стороны, — это куб, поэтому и делятся на . Заметим, что тогда это хотя бы (потому что делится на ), а это хотя бы (потому что делится на и из условия чётности ). Тогда делится хотя бы на и , откуда это хотя бы , а хотя бы . Очевидно, что подходит по построению.