Всесиб 2025, отборочный этап, 10 класс, задача 4
( баллов) Найти все натуральные числа , для которых число является квадратом натурального числа.
Ответ
Ответ. .
Решение. Пусть для некоторого натурального , тогда . Легко убедиться, что при равенство не выполняется, поэтому и левая часть последнего равенства чётна. В таком случае нечётно и обе скобки в правой части чётны, преобразуем его в равенство
Дроби в правой части являются последовательными натуральными числами, поэтому одно из них чётное, а другое — нечётное, следовательно, одно из них делится на всю степень двойки . То есть, одно из них не меньше , а другое — не больше , при этом оба различаются всего на . Отсюда следует, что . Последнее неравенство, очевидно, не выполнено при , доказательство этого от участников мы требовать не будем. Единственным кандидатом в решения является , что и будет ответом: .