Всесиб 2023, отборочный этап, 7 класс, задача 4
( баллов) На некотором острове живёт человека, каждый из которых является либо рыцарем, который всегда говорит правду, либо лжецом, который всегда врёт. Однажды все жители этого острова встали в круг, и им по очереди был задан вопрос «Является ли лжецом твой сосед слева?», на который суммарно было получено ответа «Да» и ответов «Нет». После этого всем был задан вопрос «Является ли лжецом твой сосед справа через одного?», на который тоже было получено ответа «Да» и ответов «Нет». Сколько ответов «Да» будет получено, если всех спросить «Является ли лжецом человек, стоящий в круге напротив тебя?»? (Найдите все возможные ответы и докажите, что других нет.)
Ответ
Решение. Будем обозначать рыцарей и лжецов через Р и Л соответственно. Заметим, что в паре соседних РР или ЛЛ правый человек не может сказать, что слева стоит лжец. Значит, на первый вопрос положительно могли ответить только в парах РЛ и ЛР. Но это значит, так как ответов «Да» было два, что весь круг представляет одну группу подряд идущих лжецов и одно группу подряд идущих рыцарей (а на двух стыках этих групп и прозвучало «Да»).
Рассмотрим теперь второй вопрос. Нам уже понятно, что и рыцарей, и лжецов есть хотя бы по одному человеку. Предположим, что и рыцарей, и лжецов хотя бы два. Тогда «Да» скажут два самых правых рыцаря и два самых правых лжеца. То есть, ответов будет уже четыре, что противоречит условию. Значит, либо рыцарей, либо лжецов всего один человек.
На третий вопрос «Да» ответят только рыцарь и лжец, стоящие друг напротив друга. Но из предыдущего абзаца мы уже знаем, что такая пара только одна, поэтому ответов «Да» опять будет два.