МОШ 2026, 9 класс, задача 4
В выпуклом четырёхугольнике стороны и равны, — точка пересечения диагоналей. Описанная окружность треугольника повторно пересекает сторону в точке , а описанная окружность треугольника повторно пересекает сторону в точке . Докажите, что .
(Ф. Нилов)
Решение 1. Так как треугольник равнобедренный, то . Тогда искомое равенство эквивалентно подобию треугольников и . Именно это подобие мы и будем доказывать.
Отметим точки, в которых описанные окружности треугольников и повторно пересекают диагональ — точки и соответственно (рис. 4). Из вписанности четырёхугольников и имеем равенства углов и . Значит, . Таким образом, треугольники и подобны (по двум углам), а следовательно, равны отношения сторон в этих треугольниках:
Используя теорему о произведении отрезков хорд, получим равенства , откуда
Почленно перемножив это равенство с равенством (1), получим
Вместе с равенством углов это означает, что треугольники и подобны, что и требовалось.
Решение 2. Как и в предыдущем решении, достаточно доказать, что треугольники и подобны. Для этого, в свою очередь, достаточно показать равенство отношений , так как равенство углов и следует из равнобедренности треугольника .
По теореме синусов в треугольнике имеем . Записав аналогичное равенство для треугольника и разделив одно на другое, получаем
С другой стороны, из теоремы синусов в треугольнике извлекаем , что после деления на аналогичное равенство для треугольника дает
Так как и , то можно совместить это с равенством (1) и получить
Теперь заметим, что треугольники и подобны (рис. 5). Действительно, из того, что вписанный, следует, что ; аналогично из вписанности следует ; этих двух равенств углов достаточно для подобия. Из подобия и из теоремы синусов для треугольника получаем
Подставляя в (2), находим
что и требовалось.