МОШ 2025, 11 класс, задача 4
Назовём подмножество плоскости похожим на прямую, если для некоторой прямой той же плоскости найдётся такое взаимно однозначное соответствие , что для всяких двух точек , на прямой длина отрезка отличается от длины отрезка не более, чем на . Верно ли, что любое подмножество плоскости, похожее на прямую, лежит между некоторыми двумя параллельными прямыми?
(И. Михайлов)
Ответ
Ответ: нет, неверно.
Решение. Приведём контрпример. Возьмём в качестве ось абсцисс, а в качестве множества — график функции . Докажем, что отображение удовлетворяет условию.
Достаточно проверить, что для произвольных выполнены неравенства
Неравенство (2) верно, поскольку .
Обоснуем неравенство (1). Возводя его в квадрат и сокращая слагаемое , получаем, что достаточно доказать неравенство
- Если , то
- Если , то
- Если , то заметим, что при замене на и на левая и правая части доказываемого неравенства не меняются, и справедливо рассуждение пункта 1.
Таким образом, неравенства (1) и (2) верны для произвольных .
Остаётся показать, что график функции не лежит между никакими двумя параллельными прямыми. Предположим противное: график функции лежит между параллельными прямыми и . Прямые и не могут быть вертикальными или горизонтальными, поскольку на графике есть точки со сколь угодно большими абсциссами и ординатами. Предположим теперь, что прямые и задаются уравнениями , , причём . Рассмотрим точку с координатами . Эта точка лежит на графике и имеет неотрицательную ординату. С другой стороны,
поэтому данная точка не лежит между прямыми и . Противоречие.