На совместный симпозиум лжецов (всегда лгут) и правдолюбов (всегда говорят правду) собрались 100 участников, среди которых не все лжецы и не все правдолюбы. Каждые два участника либо знакомы, либо незнакомы друг с другом. Каждый ответил «да» или «нет» на вопрос «Знакомы ли вы?» про каждого из осталь
Сложная
Комбинаторика
МОШ 2025, 11 класс, задача 2
Дана последовательность an=n!(n2-2025n+1) для всех натуральных n. Найдите сумму первых 2025 членов этой последовательности. (М. Лисицын)
Средняя
Алгебра
МОШ 2025, 11 класс, задача 3
Даны две треугольные пирамиды с общим основанием ABC. Их вершины S и R лежат по разные стороны от плоскости ABC. Все боковые рёбра одной пирамиды параллельны соответствующим боковым граням другой. Докажите, что объём одной пирамиды вдвое больше объёма другой. (М. Евдокимов)
Очень сложная
Алгебра
МОШ 2025, 11 класс, задача 4
Существуют ли такие натуральные числа m и n и такой многочлен f(x) с целыми коэффициентами, что f(m) не делится на n, но f(pk) делится на n для любого простого числа p и любого натурального k? (А. Волостнов, С. Гришин)
Очень сложная
Планиметрия
МОШ 2025, 11 класс, задача 5
Высоты AA1, BB1, CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Биссектриса угла CBH пересекает отрезок CH в точке X, биссектриса угла BCH пересекает отрезок BH в точке Y. Обозначим величину угла XA1Y через α. Аналогично определим β и γ. Найди
Очень сложная
Алгебра
МОШ 2025, 11 класс, задача 6
Петя красит каждую клетку доски 22 × 22 в чёрный или белый цвет так, чтобы клетки каждого цвета образовывали многоугольник. Затем Вася разрезает доску на двухклеточные доминошки. Петя стремится к тому, чтобы в итоге получилось как можно больше разноцветных доминошек, а Вася — к тому, чтобы их получи
Между двумя восьмёрками в числе 88 вписали несколько нулей. Докажите, что можно всегда дописать слева в начало нового числа ещё несколько цифр так, чтобы получилось число, которое является полным кубом. (М. Евдокимов)
Сложная
Алгебра
МОШ 2025, 11 класс, задача 2
Кусок сыра массой 1 кг разрезали на n≥4 кусков массами меньше 600 г. Оказалось, что их нельзя разбить на две кучки так, чтобы масса каждой кучки была не меньше 400 г, но не больше 600 г (кучка может состоять из одного или нескольких кусков). Докажите, что найдутся три таких куска, что суммарная масс
Сложная
Комбинаторика
МОШ 2025, 11 класс, задача 3
Пусть O — центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. На стороне BC отметили точку D. Окружности, описанные около треугольников BOD и COD, повторно пересекают отрезки AB и AC в точках X и Y соответственно. Докажите, что из отрезков BX, XY и YC можно сложить треугольник. (А. Соколов)
Очень сложная
Планиметрия
МОШ 2025, 11 класс, задача 4
Назовём подмножество A плоскости похожим на прямую, если для некоторой прямой ell той же плоскости найдётся такое взаимно однозначное соответствие f:ellto A, что для всяких двух точек X, Y на прямой ell длина отрезка XY отличается от длины отрезка f(X)f(Y) не более, чем на 1. Верно ли, что любое под
Очень сложная
Планиметрия
МОШ 2025, 11 класс, задача 5
Фокусник вместе со своим помощником собираются показать следующий фокус. Помощник надевает фокуснику повязку на глаза, приглашает на сцену случайного зрителя из зала и просит его написать последовательность из нулей и единиц длины 22025. Затем помощник верно называет фокуснику номер и зна
Герцог Сумматор выбрал некоторые вещественные числа (хотя бы одно, но, возможно, бесконечное количество). То же самое сделал герцог Вычитатор. Оказалось, что если x является числом Сумматора, а y является числом Вычитатора, то x+y является числом Сумматора, а y-x является числом Вычитатора. Обязател
Сложная
Алгебра
МОШ 2025, 10 класс, задача 2
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C провели высоту CH. Окружность, проходящая через точки C и H, повторно пересекает отрезки AC, CB и BH в точках Q, P и R соответственно. Отрезки HP и CR пересекаются в точке T. Что больше: площадь треугольника CPT или сумма площадей треугольников CQH и
Сложная
Планиметрия
МОШ 2025, 10 класс, задача 3
В Камелот съехались 100 рыцарей Круглого Стола, любые два из которых либо дружат, либо враждуют (дружба и вражда взаимны). Фея Моргана может выбрать любого рыцаря и сделать так, что он поссорится со всеми своими друзьями и при этом подружится со всеми своими врагами. Накладывать это заклинание Морга
Очень сложная
Комбинаторика
МОШ 2025, 10 класс, задача 4
Существуют ли такие натуральные числа m и n и такой многочлен f(x) с целыми коэффициентами, что f(m) не делится на n, но f(pk) делится на n для любого простого числа p и любого натурального k? (А. Волостнов, С. Гришин)
Очень сложная
Алгебра
МОШ 2025, 10 класс, задача 5
Высоты AA1, BB1, CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Биссектриса угла CBH пересекает отрезок CH в точке X, биссектриса угла BCH пересекает отрезок BH в точке Y. Обозначим величину угла XA1Y через α. Аналогично определим β и γ. Найди
Очень сложная
Алгебра
МОШ 2025, 10 класс, задача 6
Около таверны стоят 100 эльфов, 100 гномов и 100 орков. Сначала в неё заходят 10 эльфов, 10 гномов и 10 орков. Затем каждую минуту из неё выходит одно существо и тут же заходит другое, причём всегда после выхода эльфа заходит гном, после выхода гнома — орк, а после выхода орка — эльф. Могло ли оказа
Можно ли расставить девять различных целых чисел в клетки таблицы 3 × 3 так, чтобы произведение чисел в каждой строке равнялось 2025 и произведение чисел в каждом столбце тоже равнялось 2025? (М. Евдокимов)
Средняя
Алгебра
МОШ 2025, 9 класс, задача 2
Можно ли на бесконечной клетчатой плоскости расставить бесконечное количество шахматных коней (не более одного коня в клетку) так, чтобы каждый конь бил ровно 6 других? Напомним, что шахматный конь бьёт 8 клеток, как показано на рисунке. Ходы шахматного коня (А. Тертерян)
Средняя
Комбинаторика
МОШ 2025, 9 класс, задача 3
В треугольнике ABC с прямым углом C провели высоту CH. Окружность, проходящая через точки C и H, повторно пересекает отрезки AC, CB и BH в точках Q, P и R соответственно. Отрезки HP и CR пересекаются в точке T. Что больше: площадь треугольника CPT или сумма площадей треугольников CQH и HTR? Рисунок
Сложная
Планиметрия
МОШ 2025, 9 класс, задача 4
Каждая клетка квадрата 100 × 100 покрашена либо в белый, либо в чёрный цвет. Оказалось, что у каждой белой клетки ровно две соседних с ней по стороне клетки покрашены в белый цвет, а у каждой чёрной клетки ровно две соседних с ней по стороне клетки покрашены в чёрный цвет. Найдите максимальное возмо
Сложная
Комбинаторика
МОШ 2025, 9 класс, задача 5
У хозяйки есть кусок мяса, которым она хочет накормить трёх котиков. Раз в несколько секунд хозяйка отрезает кусочек мяса и скармливает его одному из котиков на свой выбор, причём каждый кусочек должен составлять одну и ту же долю куска, от которого его отрезают. Через некоторое время хозяйка убирае
Очень сложная
Алгебра
МОШ 2025, 9 класс, задача 6
Высоты AA1, BB1, CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Биссектриса угла CBH пересекает отрезок CH в точке X, биссектриса угла BCH пересекает отрезок BH в точке Y. Обозначим величину угла XA1Y через α. Аналогично определим β и γ. Найди
