МОШ 2025, 10 класс, задача 2
В прямоугольном треугольнике с прямым углом провели высоту . Окружность, проходящая через точки и , повторно пересекает отрезки , и в точках , и соответственно. Отрезки и пересекаются в точке . Что больше: площадь треугольника или сумма площадей треугольников и ?
(М. Евдокимов)
Ответ: они равны.
Решение 1. Добавим к рассматриваемым площадям площадь треугольника . Получим, что нужно проверить равенство
Поскольку , то — диаметр проведённой окружности, откуда . В четырёхугольнике три угла прямые, поэтому он является прямоугольником.
Опустим из точки перпендикуляры и на прямые и соответственно. Сумма их длин равна длине стороны прямоугольника. Следовательно,
Решение 2. Добавим к рассматриваемым площадям площадь четырёхугольника . Получим, что нужно проверить равенство
Из вписанности следует, что . Поскольку — диаметр окружности, то , поэтому
Каждый из углов и дополняет угол до , поэтому
Следовательно, треугольники , и подобны по двум углам. Тогда площади этих треугольников относятся как квадраты коэффициентов подобия, поэтому