МОШ 2022, 11 класс, задача 3

Сложная

Источник:

Московская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2022, 11 класс, Второй тур

В выпуклом -угольнике все углы равны. Известно, что длины каких-то десяти его сторон равны , а длина ещё одной равна . Чему может быть равна площадь этого -угольника?

(М. А. Евдокимов)

Решение. Рассмотрим -угольник , удовлетворяющий условию задачи. У него десять сторон длины и одна сторона длины . Обозначим через длину оставшейся стороны. Рассмотрим векторы , , , , а также коллинеарные им единичные векторы , , , . Тогда для некоторых и имеет место равенство . Помимо того, , поэтому . Вычитая второе из полученных равенств из первого, получаем . Это возможно лишь в случае, если и . Значит в исходном -угольнике есть пара параллельных сторон длины .

В силу равенства всех углов и соответствующих сторон этот -угольник имеет ось симметрии (см. рисунок). Чтобы найти площадь, разобьём его на трапеции и прямоугольник. Находим , , поэтому искомая площадь равна

Ответ. .

Рисунок к решению задачи 3

Похожие задачи

МОШ 2023, 10 класс, задача 4

На экране написано число из 900 единиц. Каждую минуту суперкомпьютер заменяет его по следующему правилу. Число записывается в виде AB, где B состоит из двух его последних цифр, и заменяется на 2 · A+8 · B (если B начинается на нуль, то он при вычислении опускается). Например, 305 заменяется на 2 · 3

Сложная

Планиметрия

МОШ 2020, 10 класс, задача 3

Существует ли вписанный в окружность 19-угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов?

Сложная

Планиметрия

МОШ 2023, 9 класс, задача 3

Периметр треугольника ABC равен 1. Окружность ω касается стороны BC, продолжения стороны AB в точке P и продолжения стороны AC в точке Q. Прямая, проходящая через середины AB и AC, пересекает описанную окружность треугольника APQ в точках X и Y. Найдите длину отрезка XY. (Д. Бродский)

Сложная

Планиметрия

МОШ 2021, 9 класс, задача 4

Точка M — середина стороны BC треугольника ABC. Окружность ω проходит через точку A, касается прямой BC в точке M и пересекает сторону AB в точке D, а сторону AC— в точке E. Пусть X и Y — середины отрезков BE и CD соответственно. Докажите, что окружность, описанная около треугольника MXY, касается ω

Сложная

Планиметрия