МОШ 2021, 9 класс, задача 4
Точка M — середина стороны треугольника . Окружность проходит через точку A, касается прямой в точке M и пересекает сторону в точке D, а сторону — в точке E. Пусть X и Y — середины отрезков и соответственно. Докажите, что окружность, описанная около треугольника , касается .
(А. Доледенок)
Решение. Заметим, что и -- средние линии треугольников и (рис. 3), поэтому и . Тогда
.
По свойству касательной и секущей к окружности имеем , откуда
.
Аналогично получаем . Деля одно на другое и пользуясь , находим
.
Получаем, что треугольники и подобны по углу и отношению прилежащих сторон.
Лемма (обратная теорема об угле между касательной и хордой). Пусть в треугольнике угол равен углу между отрезком и прямой , проходящей через , как на рис. 4. Тогда прямая касается описанной окружности треугольника .
Доказательство леммы. Проведём прямую , касающуюся окружности в точке . Тогда по теореме об угле между хордой и касательной угол между прямой и отрезком тоже равен углу треугольника. Отсюда следует, что и совпадают. Лемма доказана.
Тогда . Получается, что в описанной окружности треугольника угол, опирающийся на хорду , равен углу между хордой и прямой . Используя лемму, заключаем, что прямая касается окружности, описанной вокруг треугольника . Это и означает, что рассматриваемые окружности касаются.