МОШ 2020, 10 класс, задача 3

Сложная
Планиметрия
Источник:
Московская олимпиада школьников, Заключительный этап, 2020, 10 класс

Существует ли вписанный в окружность -угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов?

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ. Нет.

Решение. Допустим, такой 19-угольник существует. Рассмотрим градусные меры 19 центральных углов, опирающихся на стороны:,,...,. Угол между ()-й и -й сторонами, измеренный в градусах, равен , а значит, это число целое для любого (для удобства записи считаем, что ). Это означает, что — целое четное число. Тогда = (+... +) - () - () -... -- () = 360 - () - () -... - () то- же целое четное число. Аналогично можно доказать, что каждое — целое четное число. Поскольку все стороны в 19-угольнике разные, то и центральные углы, опирающиеся на них, должны быть разными, то есть . Тогда +... ++... + () =. Противоречие.

Похожие задачи

МОШ 2023, 10 класс, задача 4

На экране написано число из 900 единиц. Каждую минуту суперкомпьютер заменяет его по следующему правилу. Число записывается в виде AB, где B состоит из двух его последних цифр, и заменяется на 2 · A+8 · B (если B начинается на нуль, то он при вычислении опускается). Например, 305 заменяется на 2 · 3
Сложная
Планиметрия

МОШ 2022, 11 класс, задача 3

В выпуклом 12-угольнике все углы равны. Известно, что длины каких-то десяти его сторон равны 1, а длина ещё одной равна 2. Чему может быть равна площадь этого 12-угольника? (М. А. Евдокимов)
Сложная
Планиметрия

МОШ 2023, 9 класс, задача 3

Периметр треугольника ABC равен 1. Окружность ω касается стороны BC, продолжения стороны AB в точке P и продолжения стороны AC в точке Q. Прямая, проходящая через середины AB и AC, пересекает описанную окружность треугольника APQ в точках X и Y. Найдите длину отрезка XY. (Д. Бродский)
Сложная
Планиметрия

МОШ 2025, 9 класс, задача 3

В треугольнике ABC с прямым углом C провели высоту CH. Окружность, проходящая через точки C и H, повторно пересекает отрезки AC, CB и BH в точках Q, P и R соответственно. Отрезки HP и CR пересекаются в точке T. Что больше: площадь треугольника CPT или сумма площадей треугольников CQH и HTR? Рисунок
Сложная
Планиметрия